Algèbre linéaire Exemples

$y = \frac{1}{3} x - 2$ , $3 y = x - 6$

Étape 1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{3} - 2, 3 y = x - 6$

Étape 2

Soustrayez $\frac{x}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y - \frac{x}{3} = - 2, 3 y = x - 6$

Étape 3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y - \frac{x}{3} = - 2, 3 y - x = - 6$

Étape 4

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & 1 & - 2 \\ - 1 & 3 & - 6 \end{array}]$

Étape 5

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 3$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 3$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 (- \frac{1}{3}) & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot - 2 \\ - 1 & 3 & - 6 \end{array}]$

Étape 5.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 6 \\ - 1 & 3 & - 6 \end{array}]$

Étape 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 6 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 3 - 3 & - 6 + 1 \cdot 6 \end{array}]$

Étape 5.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 6

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x - 3 y = 6$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 7.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y = 6 - x$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 6 - x$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 6 - x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{6}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{6}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{6}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.1

Divisez $6$ par $- 3$ .

$y = - 2 + \frac{- x}{- 3}$

Étape 7.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - 2 + \frac{x}{3}$

Étape 8

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, - 2 + \frac{x}{3})$

Étape 9

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - 2 + \frac{x}{3} \end{array}]$